Matematyka wedyjska

eiobaTen artykuł został wybrany artykułem dnia na Eioba.pl

Would you like to read this article in your mother tongue? Use Google Translate.

Matematyka wedyjska to system szybkiego liczenia w pamięci, stworzony przez Hindusów i opisany w Wedach. Został ponownie odkryty w XX wieku przez historyka i badacza sanskrytu, Bharatiego Krisznę.

Możliwości matematyki wedyjskiej są jeszcze potężniejsze niż systemu Trachtenberga. Pozwala ona na konwertowanie ułamków typu 14/89 na ułamki dziesiętne, podnoszenie dużych liczb do kwadratu, mnożenie liczb przez 9,99,999 itp. i wiele innych działań.


Matematyka wedyjska oparta jest na 16 sutrach:

  1. Przez jeden więcej niż poprzednia.
  2. Wszystkie od 9, ostatnia od 10.
  3. Pionowo i na krzyż.
  4. Przenieś i zastosuj.
  5. Jeśli samuccaya jest równa, to jest zerem.
  6. Gdy jedno jest stosunkiem, inne jest zerem.
  7. Przez dodawanie i odejmowanie.
  8. Przez dopełnienie lub jego brak.
  9. Rachunek różniczkowy.
  10. Przez niedostatek.
  11. Specyficzny i ogólny.
  12. Reszta z ostatniej cyfry.
  13. Ostatni i podwojony przedostatni.
  14. Przez jeden mniej niż przez poprzedni.
  15. Produkt sumy.
  16. Wszystkie mnożniki.

Nie do każdej sutry udało mi się odnaleźć odpowiadające jej metody. Gdyby ktoś z Was dysponował odpowiednimi materiałami, bardzo proszę o kontakt.

I Przez jeden więcej niż poprzednia

Nazwa angielska: By one more than the one before. Nazwa indyjska: Ekadhikena Purvena

1. Podnoszenie do kwadratu liczb kończących się na 5.

Bierzemy cyfrę dziesiątek, mnożymy ją przez liczbę o jeden od niej większą. Do otrzymanej liczby dopisujemy 25.

15^2 = 1*2 (2 o jeden większa od 1) | 5*5 = 2 | 25 = 225
35^2 = 3*4 (4 o jeden większa od 3)| 5*5 = 12 | 25 = 1225
75^2 = 7*8 (8 o jeden większa od 7)| 5*5 = 56 | 25 = 5625
125^2 = 12*13 (13 o jeden większa od 12) | 25 = 156 | 25 = 15625

2. Mnożenie liczb dwucyfrowych typu xy i xz (gdzie y+z=10)

Bierzemy cyfrę dziesiątek, mnożymy ją przez liczbę o jeden od niej większą. Do otrzymanej liczby dopisujemy iloczyn cyfr dziesiątek.
29*21 = 2*3 (3 o jeden większa od 2) | 09 (9*1) = 609
32*38 = 3*4 (4 o jeden większa od 3) | 16 (2*8) = 1216
74*76 = 7*8 (8 o jeden większa od 7) | 24 (4*6) = 5624

3. Rozwinięcia dziesiętne liczb typu 1/19, 15/29, 45/69

1/19

Zaczynamy od licznika, którym jest 1. Dzielimy go przez 2 (2 o jeden większe od 1- ale tej, która stoi przed dziewiątką w mianowniku)

1/2 = 0 r 1
(1)0/2 = 5
5/2 = 2 r 1
12/2 = 6
6/2 = 3
3/2 = 1 r 1
11/2 = 5 r 1
15/2 = 7 r 1
17/2 = 8 r 1
18/2 = 9

Dzielenie wykonujemy aż do uzyskanie pożądanej dokładności. W tym wypadku 1/19 = 0,0526315789

1/29

Ponownie zaczynamy od licznika, którym jest 1. Dzielimy ją przez 3 (o jeden większe od 2, która stoi przed 9 w mianowniku).

1/3 = 0 r 1
10/3 = 3 r 1
13/3 = 4 r 1
14/3 = 4 r 2
24/3 = 8
8/3 = 2 r 2
22/3 = 7 r 1
17/3 = 5 r 2

Dzielenie wykonujemy aż do uzyskania żądanej dokładności. W tym wypadku 1/29 = 0,03448275.

45/69

Zaczynamy od 45, która znajduje się w liczniku. Dzielimy ją przez 7 (o jeden większe od 6, która stoi przez 9 w mianowniku)

45/7 = 6 r 3
36/7 = 5 r 1
15/7 = 2 r 1
12/7 = 1 r 5
51/7 =7 r 2
27/7 = 3 r 6

Dzielimy aż do momentu uzyskania pożądanej dokładności. W tym przykładzie 45/69 = 0,652173.

II Wszystkie od 9, ostatnia od 10

Nazwa angielska: All from 9 and the last from 10. Nazwa indyjska: Nikhilam Navatashcaramam Dashatah.

1. Odejmowanie liczb od wielokrotności 10.

10000-4979

10-9 = 1 (odejmujemy od 10, bo 9 jest cyfrą jedności)
9-7 = 2
9-9 = 0
9-4 = 5

Wynik odczytujemy od dołu: 5021

2. Podnoszenie liczb do potęgi.

Do liczby dodajemy cyfrę jej jedności. Wynik mnożymy przez cyfrę dziesiątek (w przypadku liczby trzycyfrowej- liczbę złożoną z cyfry setek i dziesiątek) pomnożoną przez dziesięć. Do wyniku dodajemy cyfrę jedności podniesioną do kwadratu.

36

36^2 = (36+6)*30+6^2 = 42*30+36 = 1260+36 = 1296

69

69^2 = (69+9)*60+9^2 = 78*60+81 = 4680+81 = 4761

124

124^2 = (124+4)*120+4^2 = 128*120+16 = 15360+16 = 15376

III Pionowo i na krzyż

Nazwa angielska: Vertically and crosswise. Nazwa indyjska: Urdhva-tiryagbhyam

1. Mnożenie liczb do 100

80*91

100-80=20
100-91=9
20*9=(1)80 (zostaje 80, 1 idzie na dół)

80-9=71+1 (ta z góry) = 72
Wynik: 7280

56*88

100-56=44
100-88=12
44*12=(5)28
56-12=44+5 (ta z góry) = 49
Wynik: 4928

2. Mnożenie liczb trzycyfrowych, których cyfry setek są takie same.

Dodajemy do siebie pierwszą liczbę oraz liczbę złożoną z cyfr dziesiątek i jedności drugiej liczby. Wynik mnożymy przez cyfrę setek. Do wyniku dopisujemy iloczyn liczb stworzonych z cyfr dziesiątek i jedności obu liczb (jeśli otrzymany wynik jest większy niż dwucyfrowy, nadmiarową liczbę dodajemy do wyniku z pierwszej części)
101×123 = (101+23) | 1*23 = 124 | 23 = 12423
159*178 = (159+78) | 59*78 = 237+46 | (46)02 = 283 | 02 =28302
234*248 = (234+48)*2 | 34*48 = 564+16 | (16)32 = 580 | 32 = 58032
367*315 = (367+15)*3 | 67*15 = 1146+10 | (10)05 = 1156 | 05 = 115605

3. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

W liczniku zapisujemy sumę iloczynów wyrazów skrajnych. W mianowniku- iloczyn obu mianowników.

2/3+1/6 = 2*6+3*1/3*6 = 15/18
4/5+6/7 = 4*7+5*6/5*7 = 58/35

IV Przenieś i zastosuj

Nazwa angielska: Transpose and apply. Nazwa indyjska: Paraavartya Yojayet

1. Rozkład wielomianów.

12x^2-8x-32
12x^2-8x-32/x-2 (sprawdzamy, czy 2 jest pierwiastkiem)
12*2 (ta z wyrażenia x-2) = 24
24+(-8) = 16
Ilorazem jest wyrażenie 12x+16.
16*2 (ta z wyrażenia x-2) = 32
32+(-32) = 0
Reszta wynosi 0.
Rozłożony wielomian wygląda następująco: (12x+16)(x-2)

x^3-3x^2+10x-7

x^3-3x^2+10x-7/x-5 (sprawdzamy, czy 5 jest pierwiastkiem)
1*5 = 5
5+(-3)=2
2*5 = 10
10+10 = 20
Ilorazem jest wyrażenie x^2+2x+20.
20*5 = 100
100+(-7) = 93
Reszta wynosi 93.
Rozłożony wielomian wygląda następująco: (x^2+2x+20)(x-5)+93

V Jeśli samuccaya jest ta sama, to jest zerem

Nazwa angielska: If the Samuccaya is the same it is zero. Nazwa indyjska: Shunyam Saamyasamuccaye.

1. Obliczanie wyrażeń zawierających x, zapisanych w postaci ułamka.

Samuccaya to odpowiednio:

  • suma liczników i suma mianowników w obu wyrażeniach
  • różnica między licznikiem i mianownikiem w obu wyrażeniach
  • suma liczników i mianowników w obu wyrażeniach

(2x+9)/(2x+7) = (2x+7)(2x+9)

liczników (4x+16) równa się sumie mianowników (4x+16). Różnica iloczynów elementów skrajnych daje 0 (2x*2x-2x*2x). Samuccaya równa się zero, więc 4x+16=0. Otrzymujemy x=-4.

(3x+4)/(6x+7) = (x+1)(2x+3)

Suma mianowników (8x+10) jest wielokrotnością sumy liczników (4x+5). Różnica iloczynów elementów skrajnych daje 0 (3x*2x-6x*x). 4x+5=0. Otrzymujemy x=-5/4.

(3x+4)/(6x+7) = (5x+6)/(2x+3)

Suma liczników (8x+10) równa jest sumie mianowników (8x+10), ale wymnożenie elementów skrajnych nie daje 0 (3x*2x = 6x-5x). W takim wypadku są dwa rozwiązania: jedno standardowe (8x+10 = 0, x =-10/8), a drugie powstałe w wyniku przyrównania licznika do mianownika jednego z ułamków (np. 3x+4 = 6x+7, x = -1). W tym wypadku x=-10/8 lub x = -1.

VI Gdy jedno jest stosunkiem, inne jest zerem

Nazwa angielska: If one is in ratio the other is zero. Nazwa indyjska: (Anurupye) Shunyamanyat.

1. Obliczanie wyrażeń typu
ax+by = c
dx+ey = f
gdzie b/e = c/f lub a/d = c/f.

6x+7y = 8
19x+14y = 16
7/14 to to samo co 8/16. Skoro tak, to x = 0, a y (po podstawieniu) = 8/7

6x+7y = 8
12x+19y = 16
6/12 to to samo co 8/16. Skoro tak, to y = 0, a x (po podstawieniu) = 8/6

Uwaga: metoda nie znajduje zastosowania w przypadkach, gdy zarówno stosunek współczynników x, jak i y, równy jest stosunkowi współczynników za znakiem równości.

VII Przez dodawanie i odejmowanie

Nazwa angielska: By addition and by subtraction. Nazwa indyjska: Sankalana-vyavakalanabhyam

1. Obliczanie wyrażeń typu
ax-by = c
bx-ay = d
.

45x-23y = 113
23x-45y = 91
Przez dodawanie: sumujemy x, y i liczby za znakiem równości. Otrzymujemy wyrażenie 68x-68y = 204, po skróceniu x-y = 3.
Przez odejmowanie: odejmujemy od siebie x, y i liczby za znakiem równości. Otrzymujemy wyrażenie 22x+22y = 22, po skróceniu x+y = 1.
Tworzymy układ równań
x-y = 3
x+y = 1
Podstawiamy x za y (lub odwrotnie). Otrzymujemy x = 2 oraz y = -1.

VIII Przez dopełnienie lub jego brak

Nazwa angielska: By the completion or non-completion. Nazwa indyjska: Puranapuranabhyam.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

IX Rachunek różniczkowy

Nazwa angielska: Differential calculus. Nazwa indyjska: Chalana-Kalanabhyam.

Nie znam się na różniczkach na tyle, by móc Wam to przystępnie wytłumaczyć. Osoby zainteresowane i znające się na różniczkach mogą odwiedzić stronę i przeanalizować ten przykład.

X Przez niedostatek

Nazwa angielska: By the deficiency. Nazwa indyjska: Yaavadunam.

1. Podnoszenie do kwadratu liczb bliskich wielokrotnościom dziesiątki.

Ustalamy różnicę między najbliższą wielokrotnością dziesiątki a szukaną liczbą (nadmiar lub niedobór). Nadmiar dodajemy, niedobór odejmujemy od szukanej liczby. Do wyniku dopisujemy nadmiar lub niedobór podniesiony do potęgi drugiej.

98^2

100-98 = 2
98-2 | 2^2
96 | 04 (04, ponieważ bazą jest 100, które ma 2 zera)
9604

966^2

1000-966 = 34
966-34 | 34^2
932+1 | (1)156 (bazą jest 1000, czyli 3 zera; nadmiarową jedynkę dodajemy do pierwszej części wyniku)
933 | 156
933156

1005^2

1005+5 | 5^2
1010 | 025 (bazą jest 1000, czyli 3 zera)
1010025

XI Specyficzny i ogólny

Nazwa angielska: Specific and general. Nazwa indyjska: Vyashtisamanshtih.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

XII Reszta z ostatniej cyfry

Nazwa angielska: The remainders by the last digits. Nazwa indyjska: Shesanyankena Charamena.

Przybliżenia dziesiętne ułamków- sprawdziłem tylko 1/7, sprawdzam inne ułamki tego typu.

1/7

1(0)/7 = 1 r 3
3/7 = 0 r 3. 3*3-7 = 2 (gdzie się da, odejmujemy wielokrotności 7)
2/7 = 0 r 2. 2*3 = 6
6/7 = 0 r 6. 6*3-7-7 = 4
4/7 = 0 r 4. 4*3-7 = 5
5/7 = 0 r 5. 5*3-7-7 = 1
1/7 = 0 r 1. 1*3 = 3
3/7 = 0 r 3. 3*3-7 = 2
Wyniki zaczynają się powtarzać.
3*7 = (2)1
2*7 = (1)4
6*7 = (4)2
4*7 = (2)8
5*7 = (3)5
1*7 = 7
Wynik: 1/7 = 0,(142857)

XIII Ostatni i podwójny przedostatni

Nazwa angielska: The ultimate and twice the penultimate. Nazwa indyjska: Sopaantyadvayamantyam.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

XIV Przez jeden mniej niż przez poprzedni

Nazwa angielska: By one less than the one before. Nazwa indyjska: Ekanynena Purvena.

1. Mnożenie przez 9, 99, 999, 9999 itp.

W przypadku, gdy mnożna ma mniej cyfr niż mnożnik zawierający dziewiątki, najpierw od mnożnej odejmujemy 1. Do wyniku dopisujemy różnicę mnożnej i pierwszego wyniku. W sytuacji, gdy mnożna ma więcej cyfr niż mnożnik zawierający dziewiątki, najpierw od mnożnej odejmujemy sumę liczby złożonej z cyfr nie stojących na pozycji jedności- i jedynki. Do wyniku dopisujemy różnicę dziesiątki i cyfry jedności.

8*9

8-1=7 | 9-7=2
Wynik: 72

15*99

15-1=14 | 99-14 = 85
Wynik: 1485

24*999

24-1 = 23 | 999-23 = 976
Wynik: 23976

42*9

42-(4+1) | 10-2 = 42-5 | 8 = 37 | 8 = 378
Wynik: 378

124*9

124-(12+1) | 10 – 4 = 124-13 | 6 = 111 | 6 = 1116
Wynik: 1116

XV Produkt sumy

Nazwa angielska: The product of the sum. Nazwa indyjska: Gunitasamuchyah.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

XVI Wszystkie mnożniki

Nazwa: All the multipliers. Nazwa indyjska: Gunakasamuchyah.

Nie udało mi się dotrzeć do przykładów ilustrujących sutrę.

Oto lista stron, z których korzystałem w czasie moich poszukiwań:

  1. Wikipedia, the free encyclopedia
  2. Strona stowarzyszenia „Terra incognita”
  3. The Vedic Maths India Forum Blog
  4. Vedamu.org
  5. Nuggets from Vedic Mathematics
  6. Hinduism.co.za
  7. Thinking Pages
  8. Vedic Mathematics
  9. Gummy stuff
  10. Johns221b

16 komentarzy do “Matematyka wedyjska

  1. Pingback: www.wpigulce.net

  2. Pingback: onmedia.pl

  3. abec

    Całość poczytam sobie w domu, ale już w pierwszej sutrze trafiłem na błąd w komentarzu (niematematyczny)
    W przykładzie drugim – Mnożenie liczb dwucyfrowych typu xy i xz – drugie zdanie brzmi: „Do otrzymanej liczby dopisujemy iloczyn cyfr dziesiątek.”, a powinno kończyć się na „(…) jedności.”

    Po przeczytaniu komentarz można usunąć 🙂

  4. H.

    To jeszcze dorzuce: błąd w pierwszych przykładach:
    35^2 = 3*4 (4 o jeden większa od 3) | 5*5 = 12 | 25 = 625

    Albo 35 powinno być 25 (aby wynik sie zgadzał), albo wynik powinien wynosić 1225.

    Pozdr. 🙂

  5. ad21d

    Ciekawe 😉
    To trzeba raczej traktować jako ciekawostkę matematyczną, ale jeżeli ktoś myśli o matematyce poważnie, to warto to znać i czasem można zabłysnąć 🙂

    Ale chyba raczej jako ciekawostka to jest w większości ;]

  6. Pingback: Znalezione na śmietniku « As Tradition Dies Slowly::::::::::::xbartx.ta.blog

  7. Pingback: del.icjo.us » Blog Archive » Gdy jedno jest stosunkiem, inne jest zerem

  8. Alicja

    A to ciekawe-dzięki. Uczyłam 30 lat matematyki i wielu ciekawostek nie znałam-dzięki, teraz mogę zaciekawić tym mojego wnuczka Kubusia.Pomimo zdarzających się pomyłek ciekawa ta matematyka..
    Pozdrawiam–Alicja
    PS.namiary otrzymałam od mojego syna studenta III roku AE w Poznaniu.

  9. Jacek

    W pierwszej sutrze jest błąd: 35^2 = 3*4 (4 o jeden większa od 3)| 5*5 = 12 | 25 = 625.
    Wynik wynosi 1225 a nie 625. Zasad działa prawidłowo, ale zapis wyniku zawiera błąd. Trzeba to poprwić.

  10. Jadwiga

    To jest naprawdę ciekawe.Interesuję się ciekawostkami matematycznymi,ale o matematyce wedyjskiej pierwszy raz czytam.Chciałabym się więcej o niej dowiedzieć.

  11. Nemo

    Jestem pod wrażeniem systemu Trachtenberga i matematyki wedyjskiej. Dziękuję za świetny artykuł, mam nadzieję używaqć tego systemu w szkole:) Wielkie dzięki.

  12. SasQ

    A jak rozwija się ułamek 1/39? Według tego co pisało w książce Bharatiego okres po przecinku ma mieć mianownik-licznik=39-1=38 cyfr, a od połowy tej długości cyfry mają się uzupełniać do 9. Jednak gdy próbuję wykonać te obliczenia [używam sposobo z dzieleniem], zapętla się już po szóstej cyfrze i wcale nie dopełnia się do 9 😐 Czyżbym coś robił źle?
    Dla 1/39, o 1 większa niż poprzednia (3) to 4, więc mamy:
    1 / 4 = 0 r 1 —> 0.[1]0…
    10 / 4 = 2 r 2 —> 0.0[2]2…
    22 / 4 = 5 r 2 —> 0.02[2]5…
    25 / 4 = 6 r 1 —> 0.025[1]6…
    16 / 4 = 4 r 0 —> 0.02564…
    4 / 4 = 1 r 0 —> 0.025641…
    1 / 4 = 0 r 1 —> 0.025641[1]0… tu się zapętla :/
    To jest jak dotąd jedyny ułamek z kategorii 1/?9, dla którego mi to nie działa 😐 Ktoś wie, co jest nie tak?

  13. Dobert

    sasq
    nie wiem o co chodzi z tekstem z książki Bharatiego ale mój kalkulator twierdzi, że 1/39 to jest 0,025641025641025641025641… Może dobrze, że się zapętla a źle, że mianownik ma mieć 38 cyfr i dopełniać do 9…